Энциклопедия маркетинга

О возможности моделирования спроса в системе "объем цена доход" на основе целочисленного программирования

Нецеевский А.Ю.

Таким образом, были получены функции, аналитически хорошо аппроксимирующие кривые, полученные С.Г. Светуньковым на основании исследования содержательных моделей. Дальнейшая работа в рамках данного направления должна сводиться к увязыванию параметров функций (1) и (2) с определенными экономическими показателями и к оцениванию этих параметров по статистическим данным. Однако такая модель была бы содержательно бессмысленна, т.к. она, отвечая на вопрос <как?>, ничего не говорила бы о том, почему зависимость между равновесным объемом потребления и доходом имеет именно такой вид. Кроме того, можно с уверенностью сказать, что существует огромное количество других функций (необязательно элементарных), которые описывают эту зависимость лучше.
Эти соображения заставили нас обратиться к другому возможному направлению построения формальных моделей на основе содержательных конструкций, а именно пойти по пути имитационного моделирования не отказываясь, впрочем, от попыток найти статистические данные, которые позволят оценить параметры моделей (1) и (2). Как известно, применение технологии имитационного моделирования также основано на формализации содержательной модели, однако в данном случае формализации подвергается не связь входа и выхода <черного ящика>, а внутренние связи моделируемого объекта. Т.е. имитационное моделирование отвечает прежде всего на вопрос <почему> и поэтому больше соответствует духу идеалам научного познания.
Рассмотрим процесс построения имитационной модели, позволяющей получить описанные в монографии С.Г. Светунькова кривые. Согласно содержательному описанию, потребитель при фиксированной цене и растущем доходе сначала увеличивает потребление данного товара до некого максимального значения, а затем дальнейший рост дохода ведет к снижению потребления данного товара до некого оптимального уровня. Снижение вызывается во-первых ростом затрат на транспортировку и хранение товара и ограниченностью возможностей для хранения запасов, во-вторых перераспределением растущего дохода в пользу более дорогих товаров, которые становятся доступны по мере роста благосостояния потребителя. Формализация данного описания приводит нас к задаче, напоминающей известную <задачу о рюкзаке>, а именно: имеется совокупность неделимых объектов разных типов, обладающих двумя основными свойствами, необходимо составить набор из объектов таким образом, чтобы максимизировать общую оценку набора по одному из признаков при существующих ограничениях на общую оценку набора по другому свойству и на количество объектов каждого типа в наборе. Идеология решения таких задач подробно описана в монографии Т. Ху <Целочисленное программирование и потоки в сетях> [2], а конкретная методика их решения нами взята из <Справочника по математике для экономистов> [3]. Терминология и обозначения последнего издания используется нами в дальнейшем.
Важным этапом имитационного моделирования является параметризация задачи. Пусть в данном случае в качестве объектов выступают неделимые товары, тогда одним из свойств является цена. Общей оценкой набора товаров, потребляемых за определенный период, по этому признаку будет общая стоимость набора, которая не может превышать общего дохода. Если мы абстрагируемся от существования системы ценовых скидок, то получим линейное ограничение:

где p_k - цена товара k, q_k- количество товара k. Для упрощения алгоритма решения полагаем все эти величины целыми. Количество товара является целым по определению (товары неделимы!), а представление цены зависит исключительно от масштаба выражения, поэтому цена практически всегда может быть представлена в виде целого числа.
Сложнее решить вопрос о количественном выражении свойства, которое будет положено в основу целевой функции. Здесь мы вынуждены воспользоваться во многом субъективным, и потому трудноизмеримым, показателем полезности товара. Полезность мы в данном случае трактуем как функцию от количества товара, обладающую, в соответствии с неоклассической концепцией, следующими свойствами: неотрицательностью, положительностью первой и отрицательностью второй производных на всей области определения. Мы также считаем себя в праве требовать целочисленности функции полезности: не имея объективного измерителя, полезность может быть оценена только методом ранжирования предпочтений потребителей относительно разных количеств единиц данного товара, следовательно никто не мешает исследователю придать этой целые значения.
Наиболее сложен вопрос о форме итоговой оценки полезности. Мы в данной работе использовали аддитивную оценку, т.е. полезность набора, содержащего товары 1...n в количествах q₁ :q_n соответственно, которая вычислялась как сумма полезностей этих товаров. Данный подход не является общепринятым, более популярны мультипликативные функции полезности, которые, однако, имеют тот существенный недостаток, что не допускают нулевых значений компонент вектора потребительской корзины (q₁ :q_n). Так как на практике товары, имеющие слишком высокие для потребителей с данным уровнем дохода цены, не потребляются вообще, использование мультипликативной функции полезности сделало бы задачу построения зависимости потребления при разных уровнях дохода неразрешимой.
Итак, мы получили задачу, которая, являясь оптимизационной по форме, фактически имитирует процесс принятия потребительского решения о распределении дохода b между n неделимыми товарами с ценами p₁:p_n при условии, что существуют пределы приобретения этих товаров, обусловленные ограниченностью возможных предельных запасов этих товаров d₁:d_n.
Процесс решения этой задачи на ЭВМ имитирует следующую ситуацию: доход потребителя меняется от некого минимального значения до максимального и при каждом значении дохода вычисляется его распределение между товарами потребительской корзины. Количества потребляемых товаров, входящих в корзину, выводятся в текстовый файл или на принтер. Эту задачу можно интерпретировать и иначе: имеются группы потребителей, с разными уровнями дохода, исследуется потребление некого набора товаров по этим группам. Недостатком данной реализации алгоритма является то, что полезности разных количеств товаров считаются одинаковыми для всех потребителей, независимо от уровня их дохода. Последнее является неизбежным упрощением, т.к. мы не располагаем в настоящее время возможностями для проведения социологических исследований, результаты которых можно использовать для получения реальных оценок полезности. Необходимо, однако, отметить, что в литературе встречается описание методики проведения таких исследований и расчета по их результатам показателей полезности.
Результаты работы программы по условным данным приведены в приложении. Построенные по этим результатам графики в некоторых случаях действительно напоминают кривые, построенные профессором С.Г. Светуньковым. Таким образом, нами создана модель и программа, с помощью которой можно будет решать некоторые задачи, представляющие определенный теоретический и практический интерес.


Литература
Светуньков С.Г. Модели спроса и предложения в пространстве цена - объем - доход. - Ульяновск: Изд-во УлГУ, 1999 - 173 с.
Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: Наука, 1974.
Справочник по математике для экономистов./В.Е. Бармаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Наука, 1987.

Приложения.
Основные параметры прогонов 1 и 2:

Результаты прогона программы