Оглавление

2. АНАЛИЗ ФАКТОРОВ, ОБУСЛАВЛИВАЮЩИХ УСПЕХ УПРАВЛЕНИЯ МАРКЕТИНГОМ

При воздействии на систему множества факторов (оцениваемых количественно или качественно) устанавливается связь между ними и признаком. Факторы – независимые случайные переменные, признак – зависимая случайная переменная. В качестве характеристики изменения признака используется полная дисперсия. Задача дисперсионного анализа – разложение полной дисперсии на составляющие:

,  (2.1)

где  – полная дисперсия, характеризующая изменчивость признака у в данной серии  экспериментов;  – cоставляющая полной дисперсии, обусловленная изменчивостью i-го фактора или взаимодействия факторов; α_i – коэффициент, характеризующий объем наблюдений;  – дисперсия, характеризующая ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов

Для решения вопроса о том, существенно ли влияние данного фактора на признак, используется критерий Фишера:

, (2.2)

где α – уровень значимости, характеризующий вероятность, с которой определяется существенность исследуемого фактора; f_i  – число степеней свободы дисперсии (у), характеризующее количество информации, использованное для ее вычисления; f_ош – число степеней свободы дисперсии , характеризующее количество информации, использованное для ее определения, т.е. значимость оценивается на фоне шумового поля, создаваемого действием неучтенных факторов и ошибки эксперимента.

Модель однофакторного дисперсионного анализа

у_ik = μ + A_i + ε_ik , (2.3)

где у_ik – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта; μ – математическое ожидание признака у, оценка которого вычисляется по результатам всех наблюдений; А_i – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); ε_ik ошибка эксперимента и действие неучтенных факторов, когда фактор А находится на i-м уровне при k-м повторении опыта.

Для проведения анализа необходимо фактору А придавать различные значения, т. е. исследовать на различных уровнях i,
i = 2, 3,…, а; а_min = 2; k – число наблюдений на каждом уровне, k = 3, 4, …, n; k_min = 3. В случае однофакторного дисперсионного анализа общее число наблюдений N = a · n.

Проведя опыты, можно найти общую среднюю  и средние значения по уровням наблюдений  и определить суммарные квадраты.

Q =  – полный суммарный квадрат, характеризующий полную изменчивость признака.

 – суммарный квадрат, характеризующий отклонения групповых средних от общей средней, он определяет изменчивость признака от действия фактора А и межгрупповой ошибки эксперимента, число степеней свободы f₁ = a – 1.

 – суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов внутри групп наблюдений.

Поскольку опыты производятся в однородных условиях (это предпосылка проведения дисперсионного анализа), то межгрупповая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов и общая дисперсия ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов однородны. По сути, это одна и та же дисперсия, оценки которой вычисляются по разному объему выборок из одной и той же совокупности экспериментальных данных, поэтому ее оценка , где f₂ – число степеней свободы, f₂ = N – a. Учтя это и определив оценку дисперсии , можно записать

,

откуда

 и .  (2.4)

Вклад фактора в изменчивость признака вычисляется по формуле

  В_вкл = [S²_A(y)/S²_п(у)]·100 %, (2.5)

где S²_A(y), S²_п(y) – соответственно оценка дисперсии, характеризующая вклад фактора в изменчивость признака, и полная дисперсия, характеризующая полную изменчивость признака.

Расчетные зависимости для рационального подсчета численных значений суммарных квадратов имеют вид

;  ;

.  (2.6)

Пример. По данным источника [13] исследовать влияние местонахождения пункта продаж (Минск, Москва) на средние цены (тыс. долл США) легковых подержанных автомобилей марок БМВ, «Опель-Астра», «VW–Гольф», «Форд-Мондео» в ноябре 2000 г., имеющих в первом приближении одинаковое техническое состояние.

В табл. 13 приведены цены на автомобили в Минске и Москве, а также необходимые расчетные параметры.

Решение. Приведенные значения параметров вычисляют по следующим формулам:

Вначале проверяют однородность оценок дисперсий по уровням наблюдений. Вычисляют значение F-статистики:

.

Следовательно, оценки дисперсий однородны, дисперсионный анализ можно проводить, поскольку с достаточным уровнем доверительной вероятности неучтенные факторы и неизбежная ошибка эксперимента существенно не повлияли на изменчивость признака.

Значения сумм для первого столбца данных (Минск):

Σу = 5,0 + 3,1 + …+ 3,8 = 29,8;

Σу² = 5,0² + 3,1² +…+ 3,8² =118,6;

(Σу)² = 29,8²=888,0.

Для второго столбца (Москва):

Σу = 6,8 + 4,1 +…+ 5,4 = 43,2;

Σу² = 6,8² + 4,1² +…+ 5,4² = 241,9;

(Σу)² = 43,2² = 1866,2.

Для третьего столбца (суммы):

 = 29,8 + 43,2 = 73;

= 118,6 + 241,9 =360,5;

 = 888,0 + 1866,2 =2754,2.

Вычисляют значения суммарных квадратов:

Оценка дисперсии, характеризующая изменение признака от воздействия фактора (местонахождения пункта продаж) и внутригрупповой ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f₁ = a – 1 = 2 – 1 = 1

Оценка дисперсии, характеризующей воздействие на признак ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при числе степеней свободы f₂ = N – a = 16 – 2 = 14

Значимость фактора (местонахождения пункта продаж) оценивается F-критерием при уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы f₁ = 1 и f₂ = 14 (табл. 10 приложения), проверяется нулевая гипотеза Н₀: S²₁(y) > S²₂(y) при конкурирующей Н₁: S²₁(y) ≤ S²₂(y):

Поскольку значение F-статистики превышает критическое значение F_кр, гипотеза о существенности фактора не отвергается.

Значение оценки дисперсии S²_А(у):

Величина оценки полной дисперсии

S²_п(у) = 1,26 + 1,16 = 2,42.

Вклад фактора – местонахождения пункта продаж автомобилей – в формирование цены на подержанный автомобиль

В_вкл = (1,26 / 2,42)100% = 52 %.

Следовательно, цена на подержанный автомобиль на 52% зависит от места нахождения пункта продаж.

Пример. Исследовать влияние квалификации специалистов, привлекаемых к проведению технических обслуживаний (ТО) машин, на продолжительность ТО. Специалисты разбиты на четыре группы (четыре уровня фактора А) в зависимости от их квалификации, оцениваемой стажем работы по специальности. В первую группу вошли слесари, имеющие стаж работы по специальности – не менее 8 лет, во вторую – не менее 12 лет, в третью – не менее 15 лет, в четвертую – не менее 20 лет. Из 20 автомобилей ЗИЛ-4314 (N = 20), имеющих приблизительно одинаковое техническое состояние, для каждого из специалистов случайным образом выбирается один и подается на таким же образом случайно выбранное рабочее место, причем все рабочие места имеют одинаковое техническое оснащение (эксперименты, поставленные в условиях, обеспечивающих случайный характер их проведения, называются рандомизированными). Результаты эксперимента приведены в табл. 14.

№ машины	Группа специалистов
	1	2	3	4
1	56	60	45	42
2	55	61	46	39
3	62	52	45	45
4	59	55	39	43
5	60	56	43	41

Решение. Для упрощения вычислений при ручном счете вычитается из всех данных 50 и формируется табл. 15.

Таблица 15
Расчетные значения параметров дисперсионного анализа

№ машины	Группа специалистов				Суммы
	1	2	3	4
1	6	10	–5	–8
2	5	11	–4	–11
3	12	2	–5	–5
4	9	5	–11	–7
5	10	6	–7	–9
	42	34	–32	–40	4
	386	286	236	340	1248
	1764	1156	1024	1600	5544
	8,3	13,7	7,8	5,0

Суммы ∑y_ik рассчитываются следующим образом: например, для второго столбца по первой группе специалистов 6 + 5 + +12 + 9 + 10 = 42.

Суммирование полученных значений по горизонтали дает следующий результат:

42 + 34 + (–32) + (–40) = 4.

Суммы рассчитываются так: например, для второго столбца по первой группе специалистов

6² + 5² + 12² + 9² + 10² = 386.

Суммирование полученных значений по горизонтали дает результат

386 + 286 + 236 + 340 = 1248,

который записывается в шестой столбец.

Суммы  получают, возводя в квадрат соответствующие суммы по группам специалистов:

42² = 1764; 34² = 1156; (–32)² = 1024; (–40)² = 1600.

Суммируя вычисленные значения по горизонтали, получают сумму шестого столбца:

1764 + 1156 + 1024 + 1600 = 5544.

Проверяют однородность оценок дисперсий в соответствии с критерием Кокрена, вычисляют значение G-статистики:

G = 13,7/(8,3 + 13,7 +7,8 + 5,0) = 0,3940 < G_кр (0,05; 4; 4) = 0,6287.

Гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается, предпосылки дисперсионного анализа не нарушаются, т. е. оценки внутригрупповой и общей дисперсии однородны.

Оценки суммарных квадратов, характеризующие общую дисперсию признака, дисперсию признака от воздействия фактора А, дисперсию признака от воздействия неучтенных факторов и ошибки эксперимента:

Q = 1248 – (4² / 20) = 1247,2; Q₁ = (5544 / 5) – (4² / 20) = 1108;

Q₂ = 1248 – (5544 / 5) = 139,2.

Оценки дисперсий, соответствующие Q₁ и Q₂ при числах степеней свободы f₁ = а – 1 = 4 – 1 = 3; f₂ = N – a = 20 – 4 = 16.

  .

Существенность фактора А проверяют с помощью F-критерия:

Значит, влияние квалификации на длительность ТО автомобилей существенно.

Чтобы количественно оценить вклад фактора А (квалификации специалистов) в изменчивость длительности ТО, находят оценки дисперсии вклада фактора А и полной дисперсии:

Вклад фактора А – квалификации специалистов в изменчивость продолжительности ТО

В_вкл = (72,1 / 80,8) 100 % = 89,3 %.

Следовательно, гипотеза о значимости влияния квалификации специалистов на продолжительность технических обслуживаний автомобилей ЗИЛ-4314 не отвергается и продолжительность проведения ТО при данных условиях оснащенности рабочих мест на 89,3 % определяется квалификацией специалистов.

Модель двухфакторного дисперсионного анализа имеет вид

  ,  (2.7)

где у_ijk – значение признака у, когда фактор А находится на i-м уровне, фактор В – на j-м уровне при k-м повторении опыта; μ – среднее значение признака по результатам всех опытов; А_i – влияние на изменчивость признака фактора А, когда он находится на i-м уровне (эффект фактора А); В_j – эффект фактора В; А_iВ_j – эффект взаимодействия факторов А и В, когда фактор А находится на i-м уровне, а фактор В – на j-м уровне; ε_ijk – эффект ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов.

В случае двухфакторного дисперсионного анализа полная дисперсия, обуславливающая изменчивость признака в серии опытов, дифференцируется на составляющие ее дисперсии, обусловленные варьированием независимых случайных переменных (факторов), ошибкой эксперимента и действием неучтенных факторов.

Пример 1. Оценить существенность влияния двух факторов (А – местонахождение пункта продаж автомобилей, В – время, месяц, год) на формирование цены подержанных легковых автомобилей. Данные приведены в табл. 16.

Решение. Вычисляют оценки математических ожиданий и дисперсий по группам наблюдений:

(2.8)

Оценка математического ожидания признака – цены подержанного легкового автомобиля, когда факторы А и В находятся на первом уровне (первый уровень фактора А – местонахождение пункта продаж – Минск, первый уровень фактора В – ноябрь 2000 г.)

Оценка дисперсии

Оценка математического ожидания цены подержанного легкового автомобиля, когда местонахождение пункта продаж – Минск (первый уровень фактора А), а событие происходит в июле 2001 г. (второй уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда местонахождения пункта продаж – Москва (второй уровень фактора А), а распродажа осуществлялась в ноябре 2000 г. (первый уровень фактора В)

Оценка дисперсии цены

Оценка математического ожидания цены, когда факторы А и В находятся на втором уровне (пункт продажи – Москва, событие совершалось в июле 2001 г.)

Оценка дисперсии

Проверка однородности оценок дисперсий осуществляется с помощью критерия Кокрена, вычисляется значение G-статистики:

Поскольку при уровне значимости α = 0,05, четырех независимых оценках дисперсий (k = 4) и равных числах степеней свободы оценок дисперсий f = 3 критическое значение G_кр(0,05;4;3) = = 0,7814 > G_набл.= 0,287 (табл. 11 приложения), то гипотеза об однородности оценок дисперсий не отвергается. Дисперсионный анализ можно проводить, так как с достаточно высоким уровнем доверительной вероятности можно предположить, что неучтенные факторы и ошибка эксперимента существенно не повлияли на цену подержанных легковых автомобилей ни в Минске, ни в Москве, ни осенью, ни летом.

Уровень, сумма фактора В	Уровень фактора А
	1	2
1	5,0	6,8
	3,1	4,1
	2,3	5,0
	4,1	5,1
Σ1у	14,5	21	35,5	35,52 = 1260,25
(Σ1у)2	210,25	441			170,77
2	5,3	7,2
	2,8	4,2
	3,4	5,4
	3,8	5,4
Σ2у	15,3	22,2	37,5	37,52 = 1406,25
(Σ2у)2	234,09	492,84			189,73
	29,8	43,2	73,0
	888,04	1866,24		2666,50 2754,28
	118,64	241,86			360,5
	m*11=3,625 D*11=1,39	M*12= 5,25 D*12= 1,27
	m*21=3,825 D*21=1,14	M*22= 5,55 D*22= 1,53

Вычисление сумм, представленных в табл. 16, производилось следующим образом.

Суммы для первого уровня фактора В:

Σ₁₁у = 5,0 + …+ 4,1 = 14,5;  Σ₁₂у = 6,8+ … + 5,1 = 21;

;   ;

(Σ₁₁у)² = 14,5² = 210,25;  (Σ₁₂у)² = 21² = 441;

Суммы для второго уровня фактора В:

Σ₂₁ у = 5,3 + … + 3,8 = 15,3;  Σ₂₂ у = 7,2 + …+ 5,4 = 22,2;

;  ;

(Σ₂₁ у)² = 15,3² = 234,09;  (Σ₂₂ у)² = 22,2² = 492,84;

;

Далее рассчитаем суммы по уровням фактора А:

; 

Сделаем промежуточную проверку

 т. е. 29,8 + 43,2 = 35,5 + 37,5 = 73.

;  ; ;;;

;

;

Последняя сумма дает проверку правильности вычислений, так как должно иметь место равенство

Считаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

; ;

;

;

Полный суммарный квадрат

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора В – времени года,

=

Суммарный квадрат, характеризующий эффект фактора А – местонахождения пункта продаж,

Суммарный квадрат эффекта взаимодействия

;

Суммарный квадрат, характеризующий ошибку эксперимента и действие неучтенных факторов,

;

Оценки дисперсий, соответствующие суммарным квадратам,

;  (2.9)

где f – число степеней свободы дисперсии.

При общем числе наблюдений

N = abn = 2·2·4 = 16,

здесь а – число уровней фактора А, а = 2; b – число уровней фактора В, b = 2; n – число повторений опытов на каждом уровне, n = 4.

f₀ = N – 1 = 16 – 1 = 15;   f₁= b – 1 = 2 – 1 = 1;

f₂ = a – 1 = 2 – 1 = 1;  f₃ = (b – 1)(a – 1) = (2 – 1)(2 – 1) = 1;

f₄ = ab(n – 1) = 2·2(4 – 1) = 12.

Оценки полной дисперсии и дисперсий, характеризующих изменчивость признака по всем наблюдениям,

;  ;  ;

;  

Существенность оценок дисперсий проверяют на фоне ошибки эксперимента и действия неучтенных факторов при нулевой гипотезе Н₀: S²(y) > S²₄ (y) и конкурирующей Н₁: S² ≤ S²₄(y), используя критерий Фишера:

,

т. е. нуль-гипотезу отвергают при уровне значимости α = 0,05 и числах степеней свободы f₁ = 1 и f₄ = 12, принимается конкурирующая гипотеза (фактор времени года незначим).

т. е. фактор местонахождения пункта продажи автомобилей существенно влияет на цену.

т. е. эффект взаимодействия факторов (местонахождения пункта продаж автомобилей и времени года) незначим.

Пример 2. Оценить наличие динамики роста продаж колбасных изделий (фактор А) за счет совершенствования этой сферы маркетинга и влияние разновидности колбасы (фактор В) на объем продаж (тыс. кг) в 2000 г. (табл. 17).

Уровни фактора А: 1. Январь, февраль, март; 2. Октябрь, ноябрь, декабрь; уровни фактора В: 1. Вареные колбасы; 2. Сардельки. Округленные данные взяты из источника [18].

Решение. Выполним проверку однородности оценок дисперсий по уровням факторов с помощью критерия Кокрена, для этого определим оценки параметров для соответствующих выборок по табл. 18.

Параметр	A1B1	A1B2	A2B1	A2B2	Сумма
m*i (y)	41,4	6,2	69,6	10,2	–
D*i (y)	3,54	0,503	13,46	0,103	17,61

Рассчитаем суммы для первого уровня фактора В:

Σ₁₁y = 40,5 + 40,2 + 43,6 =124,3;  Σ₁₂y = 67,6 + 67,3 + 73,8 = 208,7;

(Σ₁₁y)² = 124,3² = 15450,5;  (Σ₁₂y)² = 208,7² = 43555,7;

Рассчитаем суммы для второго уровня фактора В:

Σ₂₁y = 5,6 + 6,1 + 7,0 = 18,7;  Σ₂₂y = 10,0 + 10,6 + 10,1 = 30,7;

(Σ₂₁y)² = 18,7² = 349,7;  (Σ₂₂y)² = 30,7² = 942,5;

Рассчитаем суммы по уровням фактора А:

;  

По формуле (1.20) вычисляем значение G-статистики:

G_набл = 13,46 / (3,54 + 0,503 + 13,46 + 0,103) = 0,764 < G_кр (0,05; 4; 2) = 0,7679.

Поскольку оно меньше критического при уровне значимости α = 0,05, числе исследуемых оценок дисперсий, равном четырем, числах степеней свободы каждой из оценок дисперсий, равных двум, гипотеза об однородности оценок не отвергается [3, табл. 3.4 б]. Дисперсионный анализ можно проводить, поскольку существенного влияния на признак неучитываемые факторы не оказывали.

Рассчитаем суммы, входящие в формулы для определения суммарных квадратов:

 = (143,0 + 239,4)² = 382,4² = 146229,8; = 20134,7;  333² + 49,4² =

= 113329,4; = 143² + 239,4² = 77761,4;

= 15450,5 + 43555,7 +

+ 349,7 + 942,5 = 60298,4;